Figuras planas e não planas
Ao observar os objetos à nossa volta, percebemos que eles apresentam as mais variadas formas, como por exemplo os objetos mostrados abaixo que possuem diferentes características e se assemelham a figuras geométricas. Veja:
Nos objetos representados acima, a superfície da placa de trânsito
dá a ideia
de uma figura geométrica plana, enquanto o chapéu de festa lembra uma
figura geométricas não planas.
Os objetos planos são muito finos! Podemos até imaginar
que eles não têm altura, isto é, que são bidimensionais e
que ficam totalmente em contato com a superfície, por isso dão a ideia de figuras geométricas
planas. Já os objetos tridimensionais possuem comprimento, altura, e largura. Eles não ficam
totalmente em contato com a superfície, por isso dão ideia de figuras geométricas não planas
Sólidos geométricos
Algumas figuras geométricas não planas são chamadas de sólidos geométricos . As diferentes formas presentes nas obras de arte dão a ideia de sólidos geométricos, como podemos observar nestas fotos:
Corpos redondos e poliedros
Os sólidos geométricos podem ser divididos em grupos, entre eles: corpos redondos e poliedros. Essa divisão considera a presença ou não de formas arredondadas.
| Objetos com formato de corpos redondos | Objetos com formato de poliedros |
|---|---|
|
|
Os corpos redondos são sólidos geométricos que têm partes não planas, curvas, ou seja pelo menos uma parte com forma arredondada. A Esfera é um exemplo de corpo redondo. Veja os exemplos.
Os corpos não redondos são chamados de poliedros. A palavra Poliedro significa "muitas faces". Logo, chamamos de poliedros os sólidos que têm todas as faces planas. A pirâmide é um exemplo de poliedro. Veja mais alguns exemplos.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini. 9 ed. São Paulo. Moderna, 2018.
DANTE, Luiz Roberto. Ápis matemática, 4º ano: Ensino Fundamental, anos iniciais. 3. ed. São
Paulo. Ática, 2017.
DANTE, Luiz Roberto. Ápis matemática, 5º ano: Ensino Fundamental, anos iniciais. 3. ed. São
Paulo. Ática, 2017.
GIMENES, Rafael Schaffer. Enciclopédia do estudante: matemática II. 1 ed. São Paulo,
Moderna, 2008.
Poliedros
Um poliedro é um sólido geométrico delimitado por quatro ou mais polígnonos. Os polígonos que limitam o poliedro são chamdos faces e seus lados e vértices são denominados, respectivamente, arestas e vértices.
A intersecção entre duas faces forma uma aresta e a intersecção de, no mínimo, duas arestas formam um único vértice.
Elementos dos poliedros
Um poliedro possui os seguintes elementos:
Face: polígono que limita o poliedro.
Aresta: lado da face.
Vértice: extremidade das arestas ou, simplesmente, o ponto comum entre ao
menos duas
arestas.
Diagonal da face: segmente que une dois vértices não consecutivos de uma face
do
poliedro.
Diagonal do polígono: também chamada apenas de diagonal, é o segmento
que une dois
vértices não consecutivos de faces distintas do poliedro.
Poliedros convexos e côncavos
Poliedros convexos são aqueles que, quando se prolonga qualquer uma de suas faces, estas não cortam o poliedro.
Já um poliedro côncavo é aquele em que pelo menos uma face, ao ser prolongada, corta o poliedro.
Fórmula de Euler para poliedros
Em um poliedro convexo qualquer, é sempre válida a seguinte relação, chamada de fórmula de Euler:
em que F representa o número de faces, V, o número de vértices e A, o número de arestas.
Cones
Quando chega o
calor, o sorvete é um alimento irresistível. Existem vários tipos de sorvete,
como o picolé e o sundae, mas o de casquinha, além de ser delicioso, tem uma
relação com a Matemática: o cone.
GIMENES, Rafael Schaffer. Enciclopédia do estudante: matemática II. 1 ed. São
Paulo,
Moderna, 2008.
Quando se reúnem todos os segmentos de reta formados entre os pontos de um circulo e um ponto V fora dele, forma - se um corpo redondo chamado cone.
Elementos de um cone
Base: um círculo.
Vértice: ponto externo ao círculo.
Altura: distância do vértice ao plano que contém a base.
Eixo: reta que contém o centro do círculo e o
vértice do cone.
Geratriz: segmento cujas extremidades são o vértice do cone e
um ponto da circunferência da base.
Tipos de Cone
Quando o eixo é perpendicular à base, o cone é reto; caso contrário, o cone é oblíquo .
Área dos cones retos
A planificação de um cone reto é composta pelo círculo da base e por um setor circular cujo raio é a geratriz. O comprimento desse setor coincide com o comprimento do comprimento de seu arco, que coincide com o comprimento do círculo da base.
Para se calcular a área lateral (área do setor circular) é preciso saber a medida da geratriz g e do comprimento de seu arco, que coincide com o comprimento do círculo da base:
A área total é a soma da área lateral com a área da base:
Volume de um cone
Para calcular o volume do cone, é necessário multiplicar a sua área da base pela altura e dividir o resultado por três. Vale lembrar que a base dele é sempre um círculo.
Cone Natalino
Os sólidos geométricos estão presentes em quase todos os lugares da nossa cidade e em todas as épocas do ano, até mesmo no Natal! Começando pelas caixas de presentes com formatos de blocos retangulares e com as bolas natalinas que enfeitam as ávarores de natal. Até mesmo a ávore de natal flutuante que foi montada sobre o Rio Xingu no ano de 2021 em Altamira - PA, possui o formato de um Cone gigante. A geometria está em todos os lugares, basta observarmos!
Cilindros
As vezes, não observamos a presença de elementos da Matemática no
dia-a-dia. Um exemplo bastante popular é a latinha de refrigerante, que tem a
forma
aproximada de um cilindro. Quais outros elementos do seu dia-adia possui o
formato de cilindro?
GIMENES, Rafael Schaffer. Enciclopédia do estudante: matemática II. 1 ed. São
Paulo,
Moderna, 2008.
O que é um cilindro?
O corpo redondo que possui duas faces circulares, congruentes e paralelas, denominadas bases, e uma superficie, nomeada superficie lateral, arredondada, que pode ser planificada é chamado cilindro.
Elementos de um cilindro
Bases: são dois círculos congruentes situados em planos paralelos.
Raio: é o raio da base.
Altura:é a distância entre as bases.
Eixo: é a reta que passa pelos centros das duas bases.
Geratriz: são os segmentos paralelos ao eixo do cilindro , cujas
extremidades são pontos das circunferências das bases.
Tipos de um cilindro
Quando seu eixo é perpendicular à base, diz-se que o cilindro é reto; caso contrário, diz-se que o cilindro é obliquo . O cilindro reto é também denominado cilindro de revolução, pois pode ser obtido ao rotacionar um retângulo ao redor de um de seus lados.
Área dos cilindros retos
A planificação de um cilindro reto é composta por um retângulo e por dois círculos que formamm as bases. Um dos lados dos retângulos coincide com o comprimento do círculo da base e outro cm a altura do cilindro.
A área lateral (área do retângulo) é igual ao produto do comprimento do círculo da base pela altura:
A área total é a soma da área lateral com a área das bases:
Volume de um cilindro
Para calcular o volume de um cilindro, é necessário multiplicar a sua área da base pela altura.
Aviões e suas formas semelhantes
O cone é um dos sólidos geometricos mais presentes em nosso cotidiano, isso porque juntamente com outros sólidos traz inúmeras possibilidades de formas para objetos, contruções e recepientes de armazenamento como por exemplos as casas, os silos de armazenamento de sementes. Um curiosidade sobre os aviões é que sua parte central possui uma forma semelhante a de um cilindro enquanto suas extremidades possuem pontas achatadas com formatos aproximados de um cone. Em um bairro de Altamira - PA, há uma praça chamada de Praça do Avião. Este nome foi dado devido à possuir um avião pousado no centro da praça.
Cubo
Esse quebra-cabeça, também conhecido como o Cubo de Rubik,
em
homenagem ao seu inventor, o húngaro Erno Rubik. Inspirado em outros quebra
cabeças, como o tangram, foi só em 1978 que o cubo começou a ser produzido em
série, ainda
sem incentivos ou patrocínios. Em 1980, houve uma explosão de popularidade e o
cubo passou a ser conhecido no mundo inteiro.
GIMENES, Rafael Schaffer. Enciclopédia do estudante: matemática II. 1 ed. São
Paulo,
Moderna, 2008.
O que é um cubo?
O mais simples de todos os poliedros é o
cubo. Também
conhecido
como hexaedro regular, esse poliedro é composto por seis quadrados. O
objeto
encontrado no cotidiano mais próximo de um cubo é o dado, um objeto bastante comum
em jogos de azar e jogos infantis.
Um cubo é composto por: Oito vértices, Doze arestas e seis faces Além disso,
possui uma diagonal (linha laranja) e uma diagonal do poliedro (linha verde).
A área de um cubo
Como o cubo é composto de seis faces que são quadrados, em que a medida do lado é justamente a medida da aresta, conclui-se que a área de apenas uma face é a área de um quadrado. Af significa a área da face,
Pode-se calcular também sua área total, que é a soma das áreas de todas as suas faces. em que A, é a área total. Esse cálculo pode ser mais bem compreendido planificando-se o cubo. Planificar, como a própria palavra já diz, é tomar plano o poliedro. Note que sua planificação não deixa de ser composta por seis quadrados cujos lados medem a .
Volume de um cubo
O volume de um cubo é igual ao comprimento da aresta elevado a 3, ou
seja, V = a³ . Em que:
V representa o volume do cubo;
A ou S representa a área que é elevado ao cubo (3).
Bloco retangular
Também conhecido como paralelepípedo reto-retângulo um bloco retangular pode ser associado a um cubo, cujas faces são retângulos em vez de quadrados. Assim como o cubo, o bloco retangular possui seis faces, doze arestas e oito vértices.
Área do bloco retangular
Como as faces do bloco retangular são compostas por retângulos , então a área da face é justamente a área do retângulo . Note que no bloco retangular as faces paralelas são congruentes . Observe que a área das faces 1 , 2 e 3 é dada , respectivamente , por . A = ac Aface 2 = ab A área total é dada por : . Aface 3 = bc A₁ = 2 Ace +2 Aface 2 + 2. Aface 3 face 1 Face 1 a Face 2 b C A₁ = 2ab + 2ac + 2bc Face 3
Volume do bloco retangular
Também conhecido como paralelepípedo reto - retângulo um bloco retangular pode ser associado a um cubo , cujas faces são retângulos em vez de quadrados. Assim como o cubo, o bloco retangular possui seis faces , doze arestas e oito vértices.
Esferas
Em uma infinidade de jogos esportivos, usa-se a bola. E no desporto
mais popular do mundo e tão amado pelos brasileiros, o futebol de campo,
não poderia ser diferente.
Afinal, a bola de futebol de campo é o exemplo mais simples de uma esfera a ser
visto no nosso dia-a-dia.
O que é uma esfera?
A esfera é um corpo redondo composto pelos pontos do espaço que
equidistam de um
ponto fixo O e todos os seus pontos interiores. Ela pode ser obtida rotacionando-se
um semicírculo sobre um eixo que passa pelo seu diâmetro.
Um exemplo bastante simples é uma laranja. Quando fatiada, observa-se
que, além
de sua casca, existe um preenchimento interno, que é a própria fruta. Já a
superfície esférica é a "casca" da esfera, ou seja, é o conjunto dos pontos do
espaço que equidistam de um ponto fixo. Uma bola de vôlei, por exemplo, é
composta por um material plástico ou por couro, mas internamente ela é oca,
preenchida apenas com ar. Dessa forma, a superficie esférica pode ser associada a
esse material que forma a bola.
Elementos de uma esfera
Seus principais elementos são raio e o centro. Veja a seguir:
Área da superfície esférica
A esfera é um corpo redondo que não tem faces, formada por uma única superficie curva. Ela não tem planificação, como o cilindro e o cone. A sua área pode ser calculada da seguinte forma:
Pega-se uma esfera coberta por um cilindro tangente a ela, ou seja, sua superfície lateral toca todo o círculo máximo da esfera e suas bases a tocam em apenas um único ponto. Imagina-se que a superfície lateral do cilindro é igual a área da superfície esférica. Dessa forma, pode-se escrever:
Volume da esfera
Volume da esfera é calculado com base no raio(r), que, em suma, é o único elemento constituinte desse sólido. Existe mais de uma maneira de construir-se uma esfera. Nesse sentido podemos pensar, por exemplo, na sobreposição de circunferências, na qual os raios variam ou pela revolução de um semicírculo ou pelo conjunto de pontos do espaço, em que a distância desses pontos até o centro da esfera é sempre menor ou igual ao raio.
Frutas esféricas
Anteriormente citamos a bola de futebol como um exemplo comum de esfera vista em nosso cotidiano, contudo trouxemos aqui, outros exemplos simples e saborosos que são as frutas. Existem inúmeros exemplos de frutas esféricas como as Laranjas, limões, jabuticabas, melancias, a cabaça, a pitomba entre outros. Um exemplo regional, é o nosso querido açaí, que vem de uma palmeira muito comum na região amazônica que produz um fruto esférico de cor roxa e é muito utilizado na confecção de alimentos e bebidas.
Prismas
Vários objetos do nosso
dia a dia possuem formas semelhantes a sólidos geométricos. Um exemplo simples,
é o calendário de mesa que possui um formato semelhante a de um Prisma
triangular. Este modelo de calendário
é bastante utilizado para visualizar
melhor os dias e auxiliar na organização de tarefas diárias, sendi ainda, um
meio bem
comum de propagandas e divulgação de marcas.
O que é um prisma?
O prisma é um poliedro que possui duas faces congruentes, paralelas e convexas, denominadas bases, e cujas faces restantes são paralelogramos, denominados faces laterais, recebe o nome de prisma.
Elementos de um prisma
Bases:são dois polígonos congruentes e convexos situados em planos paralelos
distintos
Faces laterias: ssão as demais faces, os paralelogramos
Altura: é a distância entre as bases.
Vértice: são os pontos de intersecção das arestas
Arestas da base: são os lados dos polígonos da base.
Arestas laterias: ssão as demais arestas, ou seja, são os lados das faces
laterais, exceto as que já são arestas da base.
Tipos de prisma
Quando suas arestas laterais são perpendiculares às arestas da base, o prisma é reto; caso contrário, o prisma é oblíquo.
Os prismas se diferenciam e são denominados segundo o polígono da base:
Área de um prisma
A planificação de um prisma reto é composta de um retângulo e dois polígonos, que formamas bases. Um dos lados do retângulo é o perímetro do polígono da base. O outro lado coincide com a altura do prisma.
A área lateral (área do retângulo) é igual ao produto do perímetro da base pela altura:
Volume de um prisma
A área total é a soma da área lateral com a área das bases:
Volume de um prisma triangular
O volume de um prisma triangular pode ser encontrado multiplicando a
área da base pelo comprimento da altura do prisma. A base desses prismas é um
triângulo, então temos que encontrar a área do triângulo. Portanto utilizamos a
fórmula a seguir para calculaar o volume de um prisma. Onde,
b é o comprimento da base do triângulo;
l é o comprimento da altura do triângulo;
h é o comprimento da altura do prisma.
Pirâmides
As pirâmides são estudadas desde a Antiguidade. Hoje, a beleza de
suas formas continua extasiando a todos, como a pirâmide de vidro no Museu do
Louvre, em Paris.
O que são pirâmides?
As pirâmides são poliedros cuja base é um polígono qualquer e suas faces laterais são triângulos que concorrem para um vértice comum, que é também o vértice da pirâmide.
Elementos de uma pirâmide
Base: um polígono qualquer.
Faces laterias: são triângulos que contêm o vértice.
Altura: distância do vértice ao plano que contém a base.
Vértice: é o ponto para onde concorrem as faces laterais.
Arestas da base: são os lados do polígono da base.
Arestas laterias: ssão as demais arestas, ou seja, são os lados das faces
laterais , exceto as que já são arestas da base.
Tipos de pirâmides
Quando suas faces laterais são triângulos isosceles, a pirâmide é reta; caso contrário, a pirâmide é oblíqua.
As pirâmides se diferenciam e são denominadas segundo o polígono da base:
Área de pirâmides
A planificação de uma pirâmide reta é formadda pelo polígono da base e peelos triângulas isósceles congruentes.
Sua área lateral é a soma das áreas do triângulos:
Para calcular área total basta somar a área da base com a área lateral:
Volume de um pirâmide
O volume da pirâmide é calculado pelo produto entre a área da base e a altura dividido por três. A base pode ser formada por qualquer polígono. O volume da pirâmide é calculado por meio do produto entre a área da base e a altura dividido por três.
